Math Đối đồng điều Deligne-Beilinson

**Le Dang Thi NGUYEN** · #1 (**permalink**) 08-03-2010

Sau 1 thời gian bận rộn, hôm nay có chút thời gian rảnh rỗi tôi muốn giới thiệu với bạn 1 ý tưởng quan trọng của Deligne trong lý thuyết Hodge và áp dụng vào hình học đại số. Kiến thức chuẩn bị cũng không yêu cầu quá nhiều, ngoài việc nắm được kiến thức cơ bản về giải tích phức toàn cục. Deligne cohomology không chỉ áp dụng vào nghiên cứu cái gọi là ánh xạ Abel-Jacobi, phân thớ Jacobian và hàm chuẩn tắc, mà nghe đâu đó trong Reference, nó còn liên quan tới cả bên lượng tử hoá hình học, đa tạp Poisson....(xem cuốn Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization của Brylinski), cái này nếu bác WB thạo thì xin mời vào làm vài đường.

Bài đầu tiên tôi chỉ nhắc lại đối đồng điều Deligne-Beilinson: Ta gọi $X$ là 1 đa tạp phức trơn và xạ ảnh, Deligne định nghĩa 1 dẫy phức được cắt ra từ dẫy phức De Rham chỉnh hình như sau:

$\mathbb{Z}(p)_D : \mathbb{Z}(p) \rightarrow \mathcal{O}_X \rightarrow \Omega^1_X \rightarrow ... \rightarrow \Omega_X^{p-1} \rightarrow 0,$

Trong đó $\mathbb{Z}(p) = (2 \pi i)^p \mathbb{Z}$ là cấu trúc Hodge-Tate có kiểu $(-p,-p)$ nằm tại bậc 0 trong phức trên. Ta xem $\mathbb{Z}(p)$ như là 1 phức tập trung tại bậc 0, và viết lại phức Deligne như là

$\mathbb{Z}(p) \rightarrow \Omega_X^{\leq p - 1}$

Vậy thì trong phạm trù dẫn xuất ta có 1 tam giác

$\Omega^{\leq p-1}_X[-1] \rightarrow \mathbb{Z}(p) \rightarrow \mathbb{Z}(p) \rightarrow \Omega_X^{\leq p-1}$

Bên cạnh đó ta cũng có 1 tam giác từ phép cắt phức (stupid truncation):

$\Omega_X^{\geq p} \rightarrow \Omega_X^{\bullet} \rightarrow \Omega_X^{\leq p -1} \rightarrow \Omega_X^{\geq p}[1]$

Dẫy phổ Hodge-De Rham nói với ta rằng siêu đối đồng điều (hypercohomology) của phức $\Omega_X^{\geq p}$ chính là lọc Hodge bậc p, do đó ta có siêu đối đồng điều

$\mathbb{H}^n(X,\Omega_X^{\leq p-1}) = H^n_{dR}(X)/F^p_{Hodge} H^n_{dR}(X)$

Giờ ta định nghĩa đối đồng điều Deligne-Beilinson $H^n_{\mathcal{D}}(X,\mathbb{Z}(p))$ như là siêu đối đồng điều của phức Deligne $\mathbb{Z}(p)_D$ ở trên. Lưu ý nếu ta xét $p=0$ thì đối đồng điều Deligne-Beilinson trùng với đối đồng điều kỳ dị (Betti) hệ số $\mathbb{Z}$ , và nếu ta xét $p = 1$ , thì phức Deligne sẽ tựa đẳng cấu với phức $\mathcal{O}_X^*[-1]$ .

Lý thuyết Hodge nói với ta rằng, đối đồng điều kỳ dị $H^{2p-1}(X,\mathbb{Z}(p))$ là 1 cấu trúc Hodge trộn có trọng bằng $-1$ trong phạm trù abel cấu trúc Hodge trộn, ta có thể định nghĩa Jacobian bậc $p$ của đa tạp $X$ như là nhóm mở rộng trong phạm trù abel này, cụ thể hơn

$J^p(X) = Ext^1_{MHS}(\mathbb{Z},H^{2p-1}(X,\mathbb{Z}(p)))$

Từ tính toán trên ta nhận được ngay 1 dẫy khớp cơ bản và vô cùng quan trọng trong lý thuyết Hodge của Deligne:

$0 \rightarrow J^p(X) \rightarrow H^{2p}_{\mathcal{D}}(X,\mathbb{Z}(p)) \rightarrow Hdg^{2p}(X) \rightarrow 0,$

trong đó $Hdg^{2p}(X)$ là nhóm các lớp Hodge trong đối đồng điều.

Chung quanh cái dẫy khớp này thì có vô số điều để nói, bài sau tôi sẽ làm sáng tỏ mối quan hệ của nó với ánh xạ Abel-Jacobi.

Ps: Bac nao nghich chỉnh sửa kỹ thuật Forum thế nào mà bài khởi đầu nào của 1 topic cũng lệch về phía tay phải là thế nào?

**Le Dang Thi NGUYEN** · #2 (**permalink**) 08-19-2010

Nhân ngày vui hôm nay, tôi thủng thẳng viết lên trên này 1 kết quả well-known nhưng quan trọng của lý thuyết Hodge, kết quả này được biết đến với cái tên "Định lý bất biến chu trình toàn cục" của Deligne, có thể xem trong Hodge II của Deligne, hoặc cuốn Hodge theory and complex algebraic geometry II của Voisin. Tôi không có ý định viết lại chứng minh, nhưng bàn luận vài điểm nhỏ trong định lý này.

Cho 1 cấu xạ trơn và thực $f: X \rightarrow S$ , với $S$ là 1 lược đồ trơn tách, bạn có thể nghĩ cấu xạ này như là 1 họ các lược đồ được tham số hoá bởi $S$ biến thiên liên tục 1 cách trơn tru. Tất nhiên là trong nhiều trường hợp ta hoàn toàn không có 1 họ như thế nếu lược đồ $S$ của ta xạ ảnh, vậy nên ta giả sử ở đây là cả $X, S$ đều tựa xạ ảnh, nôm na có nghĩa là mở.

Do làm lý thuyết Hodge thì chúng ta thường làm trên đặc số 0, nên có thể sử dụng giải kỳ dị của Hironaka, tức là ta compact hoá $X \subset \overline{X}$ , sao cho $\overline{X}$ là trơn, và phần bù của nó $\overline{X} - X$ là 1 ước xen kẽ chuẩn tắc (Normal crossing divisor), đừng lo nếu bạn không biết cái này, nó được hiểu như là thớ kỳ dị tồi tệ nhất mà bạn cho phép.

Về mặt hình học thì ta có thể tưởng tượng như $\overline{f} : \overline{X} \rightarrow \overline{S}$ là 1 họ phẳng xạ ảnh, với 1 tập hữu hạn các điểm $\Sigma \subset \overline{S}$ tại đó $f^{-1}(b), b \in \Sigma$ có dạng ước xen kẽ chuẩn tắc, và khi ta bỏ đi tập $\Sigma$ này thì nhận được 1 cấu xạ trơn xạ ảnh $f: X \rightarrow S$ ban đầu.

Deligne nói với chúng ta 2 điều:

1) Dẫy phổ Leray $E_2^{p,q} = H^p(S,R^qf_*\mathbb{Q}) \Rightarrow H^{p+q}(X,\mathbb{Q})$ sẽ suy biến tại $E_2$

2) đồng cấu $H^n(\overline{X},\mathbb{Q}) \rightarrow H^0(S,R^nf_* \mathbb{Q})$ luôn là 1 toàn ánh.

Chú ý là trong dẫy phổ thì phía bên tay trái là đối đồng điều bó, lấy theo topo Zariski của bó ảnh trực tiếp bậc cao $R^qf_*\mathbb{Q}$ , còn bên tay phải là đối đồng điều Betti lấy theo topo phức, tức là đối đồng điều Betti của đa tạp phức $X^{an}$ theo phép so sánh GAGA.

Trong điều thứ 2 mà Deligne nói với chúng ta, thì do $S$ mở, bạn có thể tưởng tượng [TEX]S/TEX] giống như là 1 đường cong đại số bỏ đi 1 số hữu hạn các điểm, do đó nhóm cơ bản $G = \pi_1(S^{an},s)$ không tầm thường, và theo như lý thuyết đơn đạo (Monodromy), thì nó chính là nhóm đơn đạo, do đó ta có 1 đẳng cấu:

$H^0(S,R^nf_*\mathbb{Q}) \simeq (R^nf_*\mathbb{Q}_s)^G$ ,

vế bên tay phải là thớ của hệ địa phương $R^nf_*\mathbb{Q}$ , và theo định nghĩa thì nó chính là đối đồng điều Betti của thớ đóng trên điểm s, tức là $f^{-1}(s)$ .

1 ý chính tôi muốn nói ở sự suy biến của dẫy phổ trên là điều này không còn đúng nếu $f$ không trơn, và đây chính là nội dung tại sao người ta lại phát triển lý thuyết perverse sheaves và định lý decomposition và là 1 trong những công cụ quan trọng để GS Ngô Bảo Châu áp dụng vào Toán-Bổ đề cơ bản. Tôi không rõ Hitchin fibration là như thế nào, nhưng để vượt qua kỳ dị thì chắc là anh Châu phải dùng perverse sheaves với Intersection cohomology cho cái fibration này rồi.