Lớp Hodge tuyệt đối, đa tạp Shimura và nhóm Taniyama của Langlands
Hôm nay tôi muốn giới thiệu với các bạn khái niệm lớp Hodge tuyệt đối của Deligne. Ông Deligne chứng minh 1 định lý tuyệt vời phát biểu rằng: Mọi lớp Hodge trên 1 đa tạp Abel đều là lớp Hodge tuyệt đối. Tài liệu tham khảo chính các bạn có thể đọc "Hodge cycles, Motives and Shimura varieties".
Trước hết tôi xin giới thiệu lại motivation của câu chuyện là như sau: Việc làm đầu tiên là các bạn cần lên chùa của Hoà Thượng Thích Học Toán để ôn lại phạm trù Tannakian, xem tại [Only registered and activated users can see links. ] dưới cái nhìn đại số tuyến tính rất "trẻ thơ". 1 trong những cái hay ho của lý thuyết Motives, được cụ thể hoá bằng lý thuyết Hodge nói với chúng ta rằng: phạm trù các cấu trúc Hodge cùng với 1 phân cực (polarization, bạn có thể hiểu như là dạng song tuyến tính Hodge-Riemann) làm thành 1 phạm trù Tannakian, tức là ta có thể Tăng Sờ và Đối Ngẫu thoả thích.
Ông Langlands thích nghiên cứu những cái liên ngành tưởng chừng khác nhau, thể hiện qua 1 số bài báo mang tên "Jugendtraum" hay "Ein Märchen", và thường đưa ra những cái nhìn mang tính tiên đoán tầm xa. Mục đích nghiên cứu hàm Zeta của đa tạp Shimura cũng không nằm ngoài những âm mưu thống nhất lớn lao này. Nói đến đa tạp Shimura nhất định chúng ta sẽ phải mở 1 topic mới, các bạn ngoài việc tham khảo Lecture Note của Milne thì cũng có thể download bài giảng của GS Ngô Bảo Châu từ website của GS, [Only registered and activated users can see links. ].
Ông Langlands xây dựng nhóm Taniyama là mở rộng của nhóm Galois tuyệt đối bởi nhóm Serre liên thông (là nhóm tương ứng với phạm trù Tannakian con sinh bởi các cấu trúc Hodge dạng nhân phức). Ông Deligne chứng minh được rằng nhóm Serre cùng với 1 phép chẻ [Only registered and activated users can see links. ] sẽ đẳng cấu với nhóm Taniyama. Nếu bạn đi nghe ICM 2010 năm nay bài giảng của anh Châu (tôi chỉ được xem online có 2 phút đầu), sẽ thấy ví dụ ngay trang đầu trong slice của anh về "lý thuyết nội soi và dạng tự đẳng cấu" nhắc tới ví dụ cơ bản là đường cong elliptic và nhóm Taniyama. So needless to say how important this group is, và bên cạnh đó thì tất nhiên là tôi hoàn toàn không hiểu gì về những cái anh Châu báo cáo và ý đồ của Langlands rồi.
1 trong những trường hợp riêng là thông qua nhóm Taniyama, người ta nhận được thông tin về tác động của nhóm Galois tuyệt đối lên đa tạp Abel có dạng tiềm năng nhân phức và tại các điểm có bậc hữu hạn. Phù mệt quá, giới thiệu Motivation vậy là đủ, tôi không chuyên về những cái nhắc tới trong đoạn Motivation này, nhưng nói về lớp Hodge tuyệt đối thì tôi có thể hầu tiếp được các bạn.
Trước hết ta làm việc trên 1 trường đóng đại số nhúng được vào (tức là đặc số 0) và do nhu cầu "spread out" (Trải rộng) trong hình học đại số ta giả sử trường hữu hạn sinh với hữu hạn bậc siêu việt trên . Câu chuyện "Trải rộng" (spread out) trong hình học đại số sẽ có dịp chúng ta quay lại.
Ta có 3 lý thuyết đối đồng điều của 1 đa tạp đại số định nghĩa trên trường đặc số 0. Đầu tiên nếu ( xin lưu ý là có vô hạn bậc siêu việt), thì nguyên lý GAGA của Serre nói rằng ta có thể tương ứng 1 đa tạp đại số hoàn chỉnh với 1 đa tạp phức compact ký hiệu là , chữ "an" ở đây có nghĩa là analytical và do đó có thể lấy đối đồng điều Betti như là đối đồng điều kỳ dị của đa tạp phức tương ứng (lấy theo topo phức).
Nếu là trường con của ta có thể dùng phép nhúng trường để
định nghĩa 1 đa tạp mới , hiểu như là lấy tác động lên các hệ số, cụ thể hơn , với vế phải nhận được bằng cách lấy các điểm phức sau khi chuyển trường. Nên nhớ rằng đa tạp phức nhận được thực sự là 1 đa tạp phức và không có cấu trúc đại số. Mỗi 1 phép nhúng tác động lên hệ số như vậy nếu chưa lấy điểm phức (tức là chưa cho tương ứng với 1 đa tạp giải tích), thì sẽ ra những đa tạp đại số khác nhau, thậm chí không có cùng kiểu đồng luân với nhau (ví dụ của Serre). Tuy nhiên sau khi giải tích hoá thì chúng lại đồng phôi. Ta viết .
Lý thuyết thứ 2 là đối đồng điều de Rham đại số, 1 đa tạp đại số trên trường luôn có phức bó vi phân Kähler và lấy siêu đối đồng điều của phức này theo topo Zariski ta nhận được đối đồng điều de Rham đại số. Nhắc lại đôi chút về siêu đồng điều, cái này có nghĩa là ta lấy đối đồng điều của phức đôi cho bởi phức bó vi phân Kähler và phức Cech (cho bởi phủ Cech).
Lý thuyết thứ 3 tôi tạm gọi là đối đồng điều A đẻn, ăn theo tên gọi A đẻn của Hoà Thượng Thích Học Toán: Do đa tạp của ta định nghĩa trên trường đặc số không, nên ta thoả sức vùng vẫy trên toàn tập các số nguyên tố mà không sợ bị phải đối đầu với trò p-adic cohomology, ta nói:
lưu ý rằng do trường k đóng đại số nên việc lấy etale cohomology hoàn toàn không có vấn đề gì, hiển nhiên là nếu k không đóng đại số thì người ta cần xét tới đối đồng điều liên tục của Jannsen, nhưng đây là 1 câu chuyện hoàn toàn khác.
Ðề: Lớp Hodge tuyệt đối, đa tạp Shimura và nhóm Taniyama của Langlands
Tôi hiểu đa tạp Shimura rất đơn giản, Cho G là nhóm Lie trên truờng k. Khi đó Shimura variety đơn giản là \ G/K trong đó là một nhóm con congurent. Ví dụ như là một ví dụ điển hình.
Trích:
(là nhóm tương ứng với phạm trù Tannakian con sinh bởi các cấu trúc Hodge dạng nhân phức
Đề nghị giải thích cái này cái. Có phải là cấu trúc Hodge tương ứng với một đường cong Elliptic với Complex multiplication? Nhưng tai sao nó ứng với phạm trù Tannakian?
Có một điểm tôi muốn bổ sung thêm, đó là về lý thuyết L-function. Chú ý rằng l-adic cohomology chỉ có thể detect được các điểm theo spatial direction chứ không thể detect được stacky direction.
Ví dụ, xét M là stack nhận được bằng cách lấy product của scheme X với classifying stack BG. Khi đó l-adic cohomology của M và X là như nhau, nó không thể detect được BG.
Ví dụ tiếp theo là hiểu theo nghĩa stack. Khi đó l-adic coh không thể see được 2 điểm 0 và 12^3 mà chỉ nhìn thấy nó một cách rất bình thường.
Có một số người đề xuất ra một ý, đó là thay vì sử dụng l-adic cohomology, ta dùng Chen-Ruan Cohomology, được định nghĩa như là l-adic cohomology của inertial stack của X. Chú ý rằng, CR Cohomology trùng hợp với quantum cohomology trong trường hợp Orbifold/ DM stack.
Hàm Zeta được định nghĩa thông qua số p-điểm, do đó thông qua số điểm bất biến của Frobenious maps, do đó có thể tính dựa vào trace của ánh xạ này được cảm sinh trên đại số đối đồng điều. Đó là lý do ta cần sử dụng nhiều loại đối đồng điều khác nhau ở đây, cho các loại space khác nhau. Tôi không thạo number theory nên thuận tiện hơn nếu hiểu tạm thời thông qua quantum cohomology và các công cụ bên hình học symplectic.
Ðề: Lớp Hodge tuyệt đối, đa tạp Shimura và nhóm Taniyama của Langlands
Phạm trù cấu trúc Hodge polarziable làm thành Tannakian, phạm trù cấu Hodge of CM-type là sub-Tannakian, điểm này tôi sẽ giải thích ở topic [Only registered and activated users can see links. ] sau.
Đa tạp Shimura như WB nói thì G là reductive, nhưng nó còn thể arising from Hodge structures và người ta gọi nó là đa tạp Shimura dạng Hodge, đây sẽ là cái mà tôi muốn nói tới.
Về Stack thì tôi không biết.
Trích:
Hàm Zeta được định nghĩa thông qua số p-điểm, do đó thông qua số điểm bất biến của Frobenious maps, do đó có thể tính dựa vào trace của ánh xạ này được cảm sinh trên đại số đối đồng điều. Đó là lý do ta cần sử dụng nhiều loại đối đồng điều khác nhau ở đây, cho các loại space khác nhau.
Cái này thì chỉ khi nào đa tạp định nghĩa trên trường hữu hạn thì người ta có thể dùng công thức vết của Frobenius để đếm điểm, nếu nâng Frobenius lên trường địa phương (p-adic chẳng hạn) thì ta không còn có công thức vết nữa. Việc sử dụng nhiều loại đối đồng điều khác nhau thì đơn giản là l-adic cohomology trong nhiều trường hợp không thuận tiện cho tính toán, thay vào đó người ta dùng p-adic cohomology.
Bài viết của tôi hoàn toàn trên đặc số 0, cụ thể hơn k có thể có các dạng như , hoặc number fields, hoặc trường phức, trường hàm của đa tạp đại số phức... Việc xét various kind of cohomology không liên quan gì trực tiếp tới công thức vết. Đây là quan điểm mô típ theo Deligne.
Lớp Hodge tuyệt đối, đa tạp Shimura và nhóm Taniyama của Langlands 
