Vành chính và tích trực tiếp

Beginner · #1 (**permalink**) 03-23-2010

Câu hỏi: ta biết Z là vành chính, vậy tích trực tiếp ZxZ có là vành chính không? Khi học học đại số đại cương, em có hiểu một chút nhưng khi "liên hệ thực tế" thì em không hiểu lắm. Câu hỏi trên em đã gửi lên diendantoanhoc.net nhưng không thấy phản hồi. Em đoán là nó dễ với mọi người nên không ai trả lời. Vậy em mạo muội vào diễn đàn này hỏi các anh chị phd. Nếu có thể, xin trả lời giúp em. Còn nó thật sự là như vậy thì để em học lại môn đs đại cương

. Và xin cám ơn các anh chị.

kaka · #2 (**permalink**) 03-23-2010

Theo tớ biết thì ideal của một tích trực tiếp $R_1\times\cdots\times R_n$ có dạng $I_1\times\cdots\times I_n$ , trong đó $I_k$ là ideal của $R_k$ . Nên trường hợp của bạn theo tớ nghĩ thì $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ cũng là một vành chính.

Tuy nhiên, chú ý rằng ideal nguyên tố của $R_1\times\cdots\times R_n$ có dạng $R_1\times \cdots\times P_k\times\cdots\times R_n$ , trong đó chỉ duy nhất một vị trí $P_k$ là ideal nguyên tố của $R_k$ , còn các vị trí còn lại là các $R_i$