Vật lý kết hơp tài chính

Nameless · #1 (**permalink**) 10-15-2011

Cảm ơn chị Jenny về paper trên, thật ra thì em cũng muốn biết physics applied vô tài chính như thế nào. Em không biết nhiều lắm nhưng cũng viết lung tung in order to keep the topic warm !

Việc Robert Brown nghiên cứu các chuyển động của các hạt phấn khi được nhúng vào trong một chất lỏng có độ nhớt $\eta$ đã thúc dục các mathematicians tìm ra mô hình giải thích cho sự chuyển động "dị thường' này.
[Only registered and activated users can see links. ]

(Picture from wikipedia)
Vì sao lại dị thường
- Chuyển động này rất irregular, bao gồm sự kết hợp của tịnh tiến và xoay, nhưng kì lạ ở chỗ là các paths có infinite variation, nowhere differentiate ( răng cưa là một ví dụ tốt cho các paths của chuyển động như thế này)
- Sự chuyển động của hai hay nhiều hạt pollen không phụ thuộc vào nhau, độc lập lẫn nhau, ngay cả khi chúng ở rất gần nhau.
- Những hạt nhỏ hơn thì chuyển dộng nhanh hơn, active hơn
- Chuyển động nhanh hơn khi hệ số nhởt $\eta$ nhỏ
- Nếu ta cook cái liquid này lên thì chuyển đông sẽ nhanh hơn
- Chuyển động không có xu hướng dừng lại mà có khuynh hướng kéo dài mãi mãi.

Mọi người đặt tên cho sự chuyển động đó là Brownian motion như để ghi nhở R. Brown là người đầu tiên phát hiện ra nó. Mô tả nó một cách chi tiết vẫn là một câu hỏi lớn vào đầu thế kí 20.

Albert Einstein vào khoảng thời gian 1905 ( cùng thời gian mà ông này phát hiện ra thuyết tương đối và đưa ra đinh nghĩa của các hạt photôn) có gắng miêu tả nó bằng phương trình toán học. Trong " Albert Einstein - philosopher - scientist" by Paul A Schilpp, ông viết "có thể mô tả các chuyển động dị thường theo nghĩa Brownian motion nhưng những thông tin tôi biết là quá ít và không đáng tin cậy...."

Thế nên ông ta xây dựng lí thuyết để giái thích hiện tượng chuyển động dị thường này. Đặt $\rho=\rho(x,t)$ là hàm phân bố xác xuất của hạt pollen ( từ đây ta gọi là hạt Brown cho tiện) tại vị trí $x$ vào thời điểm $t$ . Giải sử một số giả thuyết xác xuất, ông tìm ra được phương tình khếch tán ( diffusion equation)

$\frac{\partial\rho}{\partial t}=D\frac{\partial^2\rho}{\partial x^2}$

trong đó $D$ là hệ số khếch tán ( diffusion coefficient). Nếu ta giá thiết là tại thời điềm $0$ các hạt xuất phát tại một vị trí ( giá sử $0$ ) thì giái phương trình trên ta có

$\rho(t,x)=\frac{1}{(4\pi Dt)^{3/2}}e^{-\frac{|x|^2}{4Dt}}$

Việc xác đình $D$ cũng khá đơn giản. Ta làm như sau: ta quăng các hạt Brown vào một chất lỏng (liquid) đựng trong một cái bình, rồi tác động nó vào bình 1 lực ngoài $K$ ( chẳng hạn như lực hút trái đất), khi đó tại trạng thái "cân bằng" ( a little vague argument here) ta có

$K=\kappa T\frac{grad \nu}{\nu}$

trong đó $\nu, T,\kappa$ là số lượng hạt Brown trên một đơn vị thể tích, nhiệt độ tuyệt đối và hằng số Boltzmann, respectively. Lưu ý là việc xác định $\kappa$ tương đương với việc xác đinh hằng số Avogadro. Khi chuyển động, rõ ràng là các hạt Brown sẽ chịu lực tác đông của ma sát. Nên ta tưởng tượng có một luồng các hạt Brown có trọng lượng $m$ cho mỗi hạt chạy qua một đơn vị thể tích với tần số $\beta$ , thì lực tác động lên mỗi hạt sẽ bằng $\frac{K}{m\beta}$ , như vậy sẽ có $\frac{\nu K}{m\beta}$ hạt chạy qua một đơn vị thể tích dưới tác động của lực ngoài $K$ . Theo nguyên lí cân bằng của nhiệt động lực học ta sẽ có

$\frac{\nu K}{m\beta}=D grad\,\,\nu$

.
Thay $K$ ở phần trên vào phương trình trên ta có

$D=\frac{\kappa T}{m\beta}$

.

Nếu ta giả sử rằng các hạt Brown có dạng hình cầu với bán kính $a$ thì $m\beta=6\pi\nu a$ nên

$D=\frac{\kappa T}{6\pi\nu a}$

.

Như vậy là ta đã có lời giải hoàn chỉnh cho phương trình khếch tán. Motivated by this, năm 1930([Only registered and activated users can see links. ]). E. Uhlenbeck and L. S. Ornstein , đưa ra một mô hình mà sau này gọi là Ulenbeck- Ornstein model ( nhiều khi còn gọi là mean-reversion model)được ứng dụng rộng rãi trong finance. Mô hình xây dựng như sau: Nếu ta coi $S_t=e^{X_t}$ là price của một asset ( stock for example), trong đó

$dX_t= a(b-X_t)dt +\sigma dW_t$

[Only registered and activated users can see links. ]

(Note picture taken from [Only registered and activated users can see links. ])
trong đó $0<a, b,\sigma$ .
- b được gọi là equilibrium level
- a được gọi là rate of reversion ( tạm hiểu như sau nếu $a(b-X_t)<0$ , tức là log -price của stock ở trên vị trí cân bằng, như vậy nó sẽ bị kéo ngược trở xuống vị trí cân bằng. Và ngược lại $a(b-X_t)>0$ tương ứng với trường hợp log-price dưới vị trị cân bằng nên sẽ bị kéo ngược lên về vị trí cân bằng)

Mô hình Ulenbeck- Ornstein mô tả được price của rất nhiều assets chẳng hạn như gas price. Nghiên cứu trong về mô hình này trong finance rất active, hiện có rất nhiều papers về nó. Tuy nhiên hướng nghiên cứu hot là kết hợp các Geometric Brownian motion model với nó mà trong đó việc nghiên cứu các markov chains, backward Stochastic Differential equations giữ vai trò qua trọng.

Remark nhỏ là : bằng cách xây dựng lý thuyết cho riêng mình Albert Einstein dạy ta nếu ta tin là ta làm được thì sẽ làm được mà không cần tham khảo bất cứ ai. ( genius có khác

)